Springer-Lehrbuch
Georg Hoever
Vorkurs Mathematik
Theorie und Aufgaben mit vollständig
durchgerechneten Lösungen
Georg Hoever
Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Fachhochschule Aachen
Aachen, Deutschland
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-54870-3 ISBN 978-3-642-54871-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-54871-0
Mathematics Subject Classi cation (2010): 97U10, 97U40
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort ..................................................... ix
Teil I: Theorie
1 Grundlagen ................................................. 5
1.1 Terme und Aussagen...................................... 5
1.1.1 Terme ............................................ 5
1.1.2 Aussagen.......................................... 7
1.2 Bruchrechnen ............................................ 9
2 Funktionen ................................................. 11
2.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Nullstellen......................................... 18
2.3 Polynome, gebrochen rationale Funktionen und Wurzelfunktionen 25
2.3.1 Polynome ......................................... 25
2.3.2 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Exponentialfunktionen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Potenzregeln und Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Trigonometrische Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.2 WinkelimBogenmaß ............................... 44
2.5.3 Trigonometrische Funktionen im Allgemeinen . . . . . . . . . . 45
v
vi Inhaltsverzeichnis
3 Differenzial- und Integralrechnung .......................... 47
3.1 Differenzialrechnung ...................................... 47
3.1.1 Ableitungsregeln ................................... 47
3.1.2 Kurvendiskussion................................... 53
3.2 Integralrechnung ......................................... 59
3.2.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Fl
¨
achenbestimmung ................................ 63
4 Vektorrechnung............................................. 67
4.1 Vektoren ................................................ 67
4.2 Linearkombination........................................ 71
4.3 GeradenundEbenen ..................................... 73
4.3.1 Geraden........................................... 73
4.3.2 Ebenen ........................................... 75
4.4 L
¨
angevonVektoren ...................................... 78
4.5 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Tei l I I : Auf gab e n
1 Grundlagen ................................................. 91
1.1 Terme und Aussagen...................................... 91
1.2 Bruchrechnen ............................................ 93
2 Funktionen ................................................. 97
2.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3 Polynome, gebrochen rationale Funktionen und Wurzelfunktionen102
2.3.1 Polynome .........................................102
2.3.2 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3.3 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.4 Exponentialfunktionen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.4.1 Potenzregeln und Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 104
2.4.2 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.4.3 VermischteAufgaben ...............................106
2.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Inhaltsverzeichnis vii
2.5.1 Trigonometrische Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5.2 Winkelim Bogenmaß ...............................108
2.5.3 Trigonometrische Funktionen im Allgemeinen . . . . . . . . . . 108
3 Differenzial- und Integralrechnung ..........................111
3.1 Differenzialrechnung ......................................111
3.1.1 Ableitungsregeln ...................................111
3.1.2 Kurvendiskussion...................................113
3.2 Integralrechnung .........................................115
3.2.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.2 Fl
¨
achenbestimmung ................................117
4 Vektorrechnung.............................................119
4.1 Vektoren ................................................119
4.2 Linearkombination........................................120
4.3 GeradenundEbenen .....................................120
4.4 L
¨
angevonVektoren ......................................122
4.5 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Teil III: L
¨
osungen
1 Grundlagen .................................................129
1.1 Terme und Aussagen......................................129
1.2 Bruchrechnen ............................................135
2 Funktionen .................................................147
2.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3 Polynome, gebrochen rationale Funktionen und Wurzelfunktionen177
2.3.1 Polynome .........................................177
2.3.2 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.3.3 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.4 Exponentialfunktionen und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.4.1 Potenzregeln und Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 188
2.4.2 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
viii Inhaltsverzeichnis
2.4.3 VermischteAufgaben ...............................197
2.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.5.1 Trigonometrische Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 203
2.5.2 Winkelim Bogenmaß ...............................208
2.5.3 Trigonometrische Funktionen im Allgemeinen . . . . . . . . . . 209
3 Differenzial- und Integralrechnung ..........................213
3.1 Differenzialrechnung ......................................213
3.1.1 Ableitungsregeln ...................................213
3.1.2 Kurvendiskussion...................................232
3.2 Integralrechnung .........................................243
3.2.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.2.2 Fl
¨
achenbestimmung ................................251
4 Vektorrechnung.............................................255
4.1 Vektoren ................................................255
4.2 Linearkombination........................................259
4.3 GeradenundEbenen .....................................263
4.4 L
¨
angevonVektoren ......................................274
4.5 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.6 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Sachverzeichnis .................................................291
Vorwort
Die Mathematik ist Grundlage f
¨
ur viele Darstellungen und Sachverhalte in inge-
nieurwissenschaftlichen und naturwissenschaftlichen Studieng
¨
angen. Die Studi-
enanf
¨
angerinnen und Studienanf
¨
anger bringen allerdings sehr unterschiedliche
Vorkenntnisse im Bereich der Mathematik mit. Dies liegt zum einen an den
unterschiedlichen Abschl
¨
ussen und Schulformen (Fachoberschule, Berufsfach-
schule, Gymnasium, ...). Zum anderen schwanken aber auch innerhalb der
gleichen Schulform die behandelten Inhalte des Mathematikunterrichts, einer-
seits resultierend aus unterschiedlichen Niveaus der Kurse, andererseits aber
auch auf Grund von Wahlfreiheiten, die der Lehrplan l
¨
asst.
Will man nun in der regul
¨
aren Mathematik-Veranstaltung auf dem kleinsten
gemeinsamen Nenner beginnen, muss man einen Großteil der Schulmathematik
wiederholen. Das kann nicht das Ziel einer Hochschul-Veranstaltung sein. Dieser
Mathematik-Vorkurs soll daher eine gemeinsame Grundlage anbieten, auf dem
dann die regul
¨
are Mathematik-Vorlesung aufbauen kann.
Der Fokus dieses Buchs liegt auf Themen der Analysis und der linearen Alge-
bra wie sie in der Sekundarstufe 1 und 2 gelehrt werden. Nach einem kurzen
ersten einf
¨
uhrenden Kapitel, das Terme und Aussagen und insbesondere das
Bruchrechnen wiederholt, werden im zweiten Kapitel die wichtigen elementa-
ren Funktionen behandelt. Diese bilden eine Basis f
¨
ur das dritte Kapitel, das
die Differenzial- und Integralrechnung beinhaltet. Das vierte Kapitel widmet
sich der linearen Algebra und ist weitgehend unabh
¨
angig von Kapitel 2 und 3,
so dass es auch vorgezogen oder eigenst
¨
andig genutzt werden kann.
Die Erfahrung zeigt, dass den Studienanf
¨
angerinnen und Studienanf
¨
angern
vor allem der routinierte Umgang mit den Dingen fehlt. Dazu hilft nicht die
Besch
¨
aftigung mit der Theorie, die in Teil I dieses Buches behandelt wird, son-
dern nur das selbst
¨
andige Bearbeiten von Aufgaben. Daher ist ein Hauptanlie-
gen dieses Buches, im Teil II und Teil III Aufgaben mit ausf
¨
uhrlich dargestellten
L
¨
osungswegen zu den behandelten Themen bereit zu stellen. Die Gliederung in-
nerhalb dieser Teile entspricht den Kapiteln und Abschnitten des Theorieteils.
Dem Leser sei empfohlen, sich die Aufgaben zun
¨
achst nur im Teil II anzusehen,
um nicht gleich in Versuchung gef
¨
uhrt zu werden, einen Blick auf die L
¨
osun-
gen zu werfen. Der Lerneffekt, eine Aufgabe wirklich selbst zum ersten Mal zu
l
¨
osen, ist unwiederbringlich verloren, wenn man sich die fertige L
¨
osung aus Teil
III angesehen hat. Die L
¨
osungen sollen dazu dienen, die eigenen Rechnungen
ix
xVorwort
zu kontrollieren. Oft gibt es mehrere M
¨
oglichkeiten zur L
¨
osung. Im L
¨
osungsteil
wird entsprechend darauf hingewiesen. Die Vorstellung mehrerer L
¨
osungsvari-
anten zeigt dem Leser, dass es nicht nur einen Weg gibt, den man h
¨
atte finden
sollen, sondern dass es h
¨
aufig mehrere Varianten und unterschiedliche Zug
¨
ange
gibt. Vielleicht hat der Leser sogar noch einen weiteren gefunden. Verweise in-
nerhalb der L
¨
osungen auf S
¨
atze, Bemerkungen o.
¨
A. beziehen sich immer auf
den Teil I. Dabei sind Verweise nicht auf alle benutzten S
¨
atze und Definitionen
sondern eher nur bei Detail
¨
uberlegungen angef
¨
uhrt. Grundlegend ist immer die
Theorie des entsprechenden Kapitels aus Teil I.
In Fortsetzung dieses Vorkurses zur Mathematik gibt es die beiden B
¨
ucher
”
H
¨
ohere Mathematik kompakt“ und
”
Arbeitsbuch h
¨
ohere Mathematik“, die
die Themen einer ein- oder zweisemestrigen Grundlagenvorlesung zur Mathe-
matik abdecken. Die im vorliegenden Vorkurs dargestellten Themen werden
dabei zum Teil kurz wiederholt. Entsprechend gibt es dort w
¨
ortliche Zitate aus
dem Vorkurs und zum Teil im Arbeitsbuch auch gleiche Aufgaben, die dazu
dienen, den routinierten Umgang mit den Dingen zu
¨
uben, bevor weiterge-
hende Aufgaben gestellt werden. Bei Lehrveranstaltungen, die sich an diesen
B
¨
uchern orientieren und die auf dem vorliegenden Vorkurs aufbauen, k
¨
onnen
diese Passagen
¨
ubersprungen werden.
Ich hoffe, dass dieser Vorkurs f
¨
ur angehende Studierende der Ingenieur- und
Naturwissenschaft eine hilfreiche Zusammenfassung des Schulstoffes mit inter-
essanten und lehrreichen
¨
Ubungsm
¨
oglichkeiten darstellt und vielleicht auch von
anderen Dozenten als Grundlage eines Vor- oder Br
¨
uckenkurses genutzt wird.
¨
Uber R
¨
uckmeldungen freue ich mich, sowohl was die inhaltliche Darstellung,
die Formulierung der Aufgaben, die Ausf
¨
uhrlichkeit der L
¨
osungen oder fehlen-
de
¨
Ubungsaspekte angeht, als auch einfach nur die Nennung von Druckfehlern.
Eine Liste der gefundenen Fehler ver
¨
offentliche ich auf meiner Internetseite
www.hoever.fh-aachen.de.
An dieser Stelle m
¨
ochte ich mich herzlich bei den Studierenden bedanken, die
mich bei der Vorbereitung des Vorkurses, der Digitalisierung der Unterlagen
und der Durchsicht und Korrektur der Entw
¨
urfe unterst
¨
utzt haben.
Aachen, im Februar 2014,
Georg Hoever
